互换的再次探讨#期权期货及衍生品

复利哥 2021年6月16日互换的再次探讨#期权期货及衍生品已关闭评论23

互换的再次探讨,在20世纪80~90年代,互换一直是OTC衍生证券市场成功的核心" 他们是管理风险的非常灵活的工具 从目前每年交易的不同合约的范围和交易总额来看,互换无疑是金融市场上最成功的创新之一

第7章中我们讨论了如何估值标准利率互换 标准的方法可以概括为:“假定远期利率将实现 ”估值步骤如下:

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1.假设未来LIBOR等于从当前的LIBOR/互换零息率曲线计算的远期利率,在此假设上计算互换的净现金流

2.利用当前的LIBOR/互换零息率曲线来贴现,使互换的价格等于净现金流的现值

本章中我们将描述一些非标准互换 其中一些可以通过“假设远期利率可以实现”的方法来定价;一些将用到我们在第27章提到的凸性调整、时刻调整和跨币调整;还有一些包含嵌入式期权的可以通过第26、28和第29章中的方法来定价

30.1,利率互换交易中的变化

将第7章讨论过的标准利率互换结构中做一个相对较小的改变,可以得到很多新的利率互换 在一些互换中,名义本金以一种预先决定的方式随时间而变化 名义本金是时间的增函数的互换被认为是本金递增型互换(step-upswap) 名义本金是时间的减函数的互换被认为是本金递减型互换(amortizaing swap) 如果一家建筑公司计划对一个特定的项目以浮动利率筹借逐步增加的款项,并希望与固定利率的资金做互换交易,递增型互换可能对他们有帮助 如果一家公司有一个有预定还款计划的固定利率借款,并希望和一笔浮动利率借款做互换,递减型互换则可能会对他们有用

互换双方的本金可能会是不同的,支付的频率也可能不同 商业剪影30.1展现了一个假想的微软公司同高盛公司所做的互换,其中浮动方的名义本金是1.2亿美元而固定方为1亿美元 浮动方采用每月付款方式而固定方为每6个月付一次款 这些在普通利率互换的基础上的变化并不对估值方法产生影响 我们仍然能够使用“假定远期利率将实现”的方法

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对于一个互换的浮动参考利率并不总是LIBOR 例如,在一些互换中使用的是商业票据(CP)利率 基准互换(basis swap)由根据一个浮动参考利率产生的现金流和另外一个浮动参考利率产生的现金流相互交换而产生 例如:一个互换是将3个月商业票据利率加10个基点交换为3个月的LIBOR,双方的本金都是1亿美元 一个其资产和负债分别依赖于不同的浮动参考利率的金融机构,可以用基准互换进行风险管理

浮动参考利率不是LIBOR的互换可以使用“假定远期利率将实现”的方法来估值 假定远期利率将实现,一个LIBOR以外的零息率曲线对于计算未来净现金流而言是必要的 不过,我们通常仍然将现金流按照UBOR来贴现

30.2,复利互换

另一种标准型互换的变形是复利互换 商业剪影30.2给出了一个假想的复利互换的结构摘录 对于浮动利率方和固定利率方来说都只有一个付款日期,即在互换期限结束时 浮动利率等于LIBOR加上20个基点,利息以LIBOR加上10个基点的利率进行滚存直到互换期限结束时,而不是每期进行支付 固定利率是6%,利息以6.3%的固定利率进行滚存直到互换期限结束时,而不是每期进行支付

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我们可以使用“假定远期利率将实现”的方法来对如商业剪影30.2中的复利互换进行估值 处理互换的固定利率方的方法是直接的,因为在到期日付款的金额是确定的 对浮动利率方使用的“假定远期利率将实现”的方法是有道理的,因为我们可以设想出一系列的远期利率合约,当每-期浮动利率相等于对应的远期利率时,浮动利率现金流即被转换为它们的价值

[例30.1],一个按年度滚存的复利互换期限为3年,付出固定利率并收到浮动利率 固定利率为4%,浮动利率为12个月的LIBOR 固定利率方的滚存利率为3.9%,浮动利率方的滚存利率为12个月的LIBOR减去20个基点 LIBOR的零息率曲线是平的,为5%按年度计复利,名义本金为1亿美元

对固定利率方而言,第1年末应收到的利息为400万美元,在第2年末该利息增加至400x1.039=415.6万美元,加上第2年末的年利400万美元,使总滚存利息增加至815.6万美元 第3年末该利息增加至815.6x1.039=847.4万美元,加上第3年末的年利400万美元,因此在第3年末互换的固定利率方的现金流为1247.4万美元

对浮动利率方而言,我们假定所有未来的利率都等于相应的远期LIBOR利率 根据给定的LIBOR零息率曲线,该假设即为我们假定所有未来的利率都为5%按年度计复利 计算得到第1年末的利息为500万美元,将此按照4.8%进行滚存(远期LIBOR减去20个基点)得到第2年末该利息500x1.048=524万美元 加上年利息后,应进行滚存的利息变为1024万美元 滚存到第3年末该利息增加至1024x1.048=1073.1万美元,加上年利息后最终利息总额为1573.1万美元

我们可以以此来对该互换进行估值,假定其导致了在第3年年末有一笔1573.1万美元的现金流入和一笔1247.4万美元的现金流出,因此该互换的价值为:

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即281.4万美元(本分析过程忽略了日算惯例的影响)

30.3,货币互换

第7章中介绍了货币互换 其中,我们可以将基于一种货币的利率暴露交换为基于另一种货币的利率暴露 通常指定两种货币的本金数额 如7.8节所述,互换期初和到期之时交换本金

假设货币互换中的两种货币分别为美元(USD)和英镑(GBP) 固定对固定货币互换中,指定两种货币的固定利率 一方的支付数额基于美元固定利率和美元本金,另一方的支付数额基于英镑固定利率和英镑本金 7.9节中我们讨论过这种互换的估值方法

另一种流行的货币互换是浮动对浮动货币互换 一方的支付数额基于美元LIBOR(可能再加上价差)和美元本金,另一方的支付数额基于英镑LIBOR(可能再加上价差)和英镑本金 还有一种互换是交叉货币利率互换,其中以一种货币的浮动利率交换另一种货币的固定利率

浮动对浮动和交叉货币利率互换可以用“假定远期利率将实现”的方法来估值 假定每种货币的未来LIBOR等于当前的远期利率 这样就能确定每种货币的现金流 美元现金流以美元LIBOR零息率曲线贴现,英镑现金流以英镑LIBOR零息率曲线贴现 根据当前的汇率,把得到的两个现值转换成通常使用的货币

有时对这些过程进行调整,以便反映市场的真实情况 理论上,一个新的浮动对浮动互换应该包括把一种货币的LIBOR交换为另一种货币的LIBOR(不加价差) 现实中,宏观经济效应带来价差 因此,金融机构经常调整它们使用的贴现率 举一个例子,假设市场状况是,所有期限的浮动对浮动互换中美元LIBOR交换为日元LIBOR减去20个基点 在估值过程中,一个美国金融机构对美元现金流以美元LIBOR贴现,而对日元现金流以日元LIBOR减去20个基点所得到的利率来贴现 对于所有涉及美元和日元现金流的互换,金融机构都会使用这样的贴现率

30.4,更为复杂的互换

接下来我们考虑一些互换,其中,“假定远期利率将实现”的方法失效 每种情形中,我们都要对远期利率做出调整

后定LIBOR利率的互换

标准型利率互换被设计为,一个支付日所观测到的浮动利率,将在下一个支付日支付 有时大家也交易另一种被称为后定LIBOR利率的互换(LIBOR-in-arrears swap)的金融工具 其中,一个支付日所支付的利率等于那个支付日所观测到的利率

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而不是Fi

[例30.2],在一个后定LIBOR利率的互换中,本金为1亿美元 每年收取固定利率5%,并支付LIBOR 在第1、2、3、4和第5年末交换支付 收益率曲线是平坦的,年利率5%(每年计一次复利) 所有利率看涨期权元的波动率为年利率22%

每次支付的浮动利率的远期利率是5% 如果这是一个常规互换而不是后定互换,那么它的价值(忽略日算惯例等等)将正好等于0 因为这是一个后定互换,我们应该做出凸性调整 根据方程(30.1),对于所有的i,有Fi=0.05,σi=0.22以及τi=1,凸性调整使得ti时刻的利率应该从0.05调整到:

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第1、2、3、4和第5年末支付的浮动利率分别为5.0115%、5.0230%、5.0345%,5.0460%和5.0575% 第一个支付日的净交换额等价于1亿美元的0.0115%的现金流出,即$11500 可以类似地计算出其他交换对应的净现金流出 互换的价值为:

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即-$144514

CMS和CMT互换

一个固定期限利率互换(CMS)中浮动利率等于某个期限互换的互换率 例如,一个CMS互换中,每6个月支付浮动利率等于5年期互换率 通常存在时滞,所以某一支付日的支付利率等于前一个支付日观察到的互换率 假设利率的重设时间分别为t0,t1,t2,…,支付时间为t1,t2,t3,…,L为名义本金 ti+1时刻的浮动支付额为

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假设yi是互换率Si的远期值 为了估值ti+1时刻的支付额,需要对远期互换率进行凸性调整 那么互换率被设定为:

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类似于我们在27.1节的例27.2中计算的项 它的基本假设是,互换率Si和ti时刻的一次支付有关

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i类似于我们在27.2节中计算的项 它表示了,从Si计算的支付额在ti+1时刻实现,而不是ti时刻

[例30.3],一个6年期CMS互换中,收取一个5年期互换率并支付固定利率5%,名义本金为1亿美元 每半年交换支付(标的5年期互换和CMS互换都是这样的) 某一支付日的交换取决于前一支付日观察到的互换率 期限结构是平坦的,年利率5%,每半年计一次复利 基于5年期互换的所有期权都隐含15%的波动率,所有循环期限为6个月的利率看涨期权元有20%的隐含波动率 每个上限利率和每个互换率之间的相关系数都为0.7

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那么,G'i(yi)=-437.603且G''i(yi)=2261.23 方程(30.2)给出的所有凸性/时刻调整等于0.0001197ti,即每年1.197个基点,直到观测互换率之前 比如,为了估值CMS互换,4年后的5年期互换率应该被假定为5.0479%,而不是5% 到4.5年时收取的净现金流应该被假定为0.5x0.000479x100000000=$23940 可以类似地计算其他净现金流 计算它们的现值,我们得到的互换的价值为$159811

固定期限国债利率互换(CMTswap)和CMS互换相似,其中浮动利率等于某一指定期限的长期国债的收益率 CMT互换的分析过程本质上和CMS互换相同,我们只需将Si定义为指定期限的长期国债的票面收益率

差异互换

差异互换(diHerential swap,或diff swap)是一种利率互换,其中浮动利率是以一种货币观测的,但相应的本金是以另一种货币表示的 假设我们以货币Y观察ti至ti+1期间的LIBOR,对应的本金是以货币X表示的,且支付发生在ti+1时刻 定义Vi为以货币Y表示的ti至ti+1期间的远期利率,Wi为ti+1期限的合约的远期汇率(以一单位货币X相应的货币Y的单位数量给出) 如果货币Y的LIBOR对应的本金是以货币Y表示的,那么我们估值现金流时,会假设LIBOR等于Fi 根据27.3节的分析,当用于货币X表示的本金时,需要进行跨币调整 正确的估值现金流的方法应该是假设LIBOR等于

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[例30.4]    美国和英国的零息率都稳定在年利率5%,每年计一次复利 一个3年期差异互换中每年支付一次,收取美元12个月期LIBOR,支付英镑12个月期LI-BOR,两个利率的本金都是1000万英镑 在美国,所有1年期远期利率的波动率估计值为20%,所有期限的远期美元凄镑汇率(每英镑对应的美元数量)的波动率为12%,两者之间的相关系数为0.4

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这说明估值过程中应该假设:互换中第1、2,3年的净现金流分别为0、4800、9600英镑 因此,互换的价值为

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即12647英镑

30.5,权益性互换

权益性互换中,一方承诺在某个名义本金基础上支付基于某个股票指数的收益,另一方承诺支付基于某个名义本金的固定或浮动收益 权益性互换允许基金经理不需买入或卖出股票,就能加大或减少他们对于某个指数的风险暴露 权益性互换是基于某个指数的远期合约的一揽子组合,它符合市场需求且非常方便

股票指数通常是总收益指数,其中红利再投资到组成指数的股票中去 商业剪影30.3中给出了假想的权益性互换的结构摘录 其中,以S&P500的6个月期收益来交换LIBOR 互换合约双方的名义本金都是1亿美元,每6个月进行支付

对于如商业剪影30.3中的权益对浮动互换,它的初始价值为0 这是因为金融机构不需要任何成本就能“复制”一方的现金流°方法是:在每个支付日以LIBOR借入本金,并把它重新投资到指数,直到下一次支付日,任何红利也都被再投资,类似的讨论说明互换在每次支付日之后的价值刚好等于0

支付日之间,我们需要估值下一次支付日的权益现金流和LIBOR现金流 LIBOR现金流已在上一次的重设日确定,因此估值非常容易:权益现金流的价值应该是LE/E0 其中,L是本金,E是股票指数的当前值,E0是上一次重设日股票指数的价值

30.6,包含嵌入期权的互换

某些互换包含嵌入期权 本节中,我们考虑几种常见的例子

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条件累计互换

条件累计互换(accrual swap)中,只有当浮动参考利率在某一范围内变化时,其中方的利息才会被累计 有时在互换整个有效期内该范围是保持不变的,而有时定期地重新设定这一范围

作为条件累计互换的一个简单例子,我们考虑一个交易 其中,每季度以固定利率Q交换3个月期LIBOR.,假设只有在3个月期LIBOR小于年利率8%的日期中,固定利率才会被累计 假设本金为L,在一个普通互换中,固定利率支付方在每个支付日支付QLn1/n2 其中,n1是前一季度的天数,n2是一年的天数(这里假设了日算惯例是实际天数/实际天数) 在条件累计互换中,上述值变成QLn1/n2 其中,n3是前一季度中3个月期LIBOR小于8%的天数 在每个3个月期LIBOR大于8%的日期中,固定利率支付方每天节省QL/n2 因此,固定利率支付方的头寸可看作是普通互换加上一系列两值期权,每个两值期权对应互换有效期内每一天 当3个月期LIBOR大于8%时,两值期权的损益为QL/n2

为了一般化,我们假设LIBOR截止率(刚才的例子中是8%)为Rk,每τ年交换支付 考虑互换有效期内的第i天,假设ti是现在到第i天之间的时间长度 假设第i天的τ年期LIBOR为Ri 那么,Ri<Rk时,利率被累计 定义Fi为Ri的远期值,σi为Fi的波动率(后者从即期利率看涨期权元波动率中估计得出) 使用常规的对数正态分布假设,在“关于ti+τ时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”中,LIBOR大于Ri的概率是N(d2),其中

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两值期权的损益在第i天后面的互换支付日实现 我们假设这个时间是si 在“关于si时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”中LIBOR大于Rk的概率是N(d*2),其中d*2的计算公式和公一样,但是需要对Fi进行小量时间调整,这是为了反映时间ti+τ和时间Si之间的区别

第i天对应的两值期权的价值为

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在互换有效期内的每一天计算上述表达式的值,再进行加总,得到两值期权的总价值 这里的时刻调整(使得d2被替换成d*2)非常小,实际应用中常常忽略

可撤销互换

可撤销互换是一种标准型利率互换,其中一方有权在一个或多个支付日终止合约 终止互换合约类似于获得抵消(或相反的)合约 考虑微软和高盛之间的互换,如果微软有权撤销,那么微软可以将该互换看作为普通互换加上获得抵消合约选择权的多头 如果高盛有可撤销权,微软持有一个普通互换加上获得抵消合约选择权的空头

如果只有一个终止日,该可撤销互换等价于普通互换加上一个欧式互换期权的头寸 例如,考虑一个10年期互换,其中,微软收取6%,支付LIBOR 假设微软可以选择在第6年末终止合约 该互换等价于普通10年期互换(收取6%支付LIBOR)加上基于支付6%收取LIBOR的4年期互换的6年期欧式期权的多头(后者就是所谓的6x4欧式期权) 估值欧式互换期权的标准市场模型已在第26章中描述过

当互换在一系列不同的支付日可被终止时,它等价于普通互换加上百慕大互换期权 例如,考虑微软签订了这样的5年期互换合约:收取6%支付LIBOR,每半年支付一次 假设另一方有权在第2年至第5年之间的支付日上终止合约 该互换等价于普通互换加上基于收取6%支付LIBOR的5年期互换的百慕大互换期权空头 该百慕大互换期权可在第2年至第5年之间的任何支付日上提前执行 第28章和第29章中我们讨论过估值百慕大互换期权的方法

可撤销复利互换

有时复利互换也可在一些指定的支付日上提前终止 终止时,浮动利率支付方支付到终止时刻的浮动额的滚存额,固定利率支付方支付到终止时刻的固定额的滚存额

估值可撤销复利互换时可以利用一些技巧 首先假设浮动利率是LIBOR,并以LIBOR滚存 假设互换到期之时,固定方和浮动方支付互换的本金 这与标准互换中从表7.1变化到表7.2的情况是类似的 这并不改变互换价值,并保证在支付日,对于浮动方的价值总是等于名义本金 为了做撤销决策,我们只需要看固定利率方 我们构建如第28章中所述的利率树图 估值固定方的价值时,我们在树图以常规方式进行倒推计算 在每个可撤销互换的节点上,我们检验维持互换合约和终止合约之间,哪一选择是最优的 撤销互换的结果是,固定方的价值等于账面价值 如果我们支付固定利率收取浮动利率,则我们的目标是使固定方的价值最小化;如果收取固定利率支付浮动利率,则我们的目标是使固定方的价值最大化

当浮动方是LIBOR加上价差再以LIBOR滚存时,我们可以在固定方减去对应于价差利息的现金流,而不是对浮动方加上该现金流 那么,估值这些期权的过程和没有价差的情况相同

以LIBOR加上价差的利率滚存时,一种近似方法如下:

1.假设远期利率将实现,对每个可撤销日,计算互换对于浮动方的价值

2.假设浮动利率是LIBOR且以LIBOR滚存,对每个可撤销日,计算互换对于浮动方的价值

3.定义步骤1结果超过步骤2结果的部分为每个可撤销日的“价差的价值”

4.以之前的方法处理期权 在决定是否执行可撤销选择权时,从固定方的价值减去价差的价值

30.7,其他互换

商业剪影30.4,宝洁公司和信孚银行之间的奇异交易

1993年11月2日宝洁公司(P&G)和信孚银行(BT)之间签订的“5/30”互换是一种非常奇异的互换 这是每半年支付一次的5年期互换 名义本金为2亿美元 信孚银行支付宝洁公司5.30%p.a. 宝洁公司支付信孚银行平均30天期商业票据(CP)利率波去75个基点再加上一个价差 平均商业票据利率由前一个付息期间内每天的30天期商业票据利率观测值计算,然后再取平均值

第一个支付日(1994年5月2日)的价差为0 对于剩下的9个支付日,价差等于:

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其中,5年期CMT是固定期限国债收益率(即5年期中期国债的收益率,由美国联邦储备委员会发布) 30年期TSY价格是2023年8月到期的6.25%长期国债的现金债券价格买价和卖价的均值 注意,根据上述公式计算的价差是以十进制的小数表示的,而不是以基点表示的 如果公式给出0.1,而商业票据利率是6%,那么宝洁公司支付15.25%

宝洁公司希望价差停留在0附近,它可以把固定利率5.30%的资金交换成商业票据利率减去75个基点的资金 实际上,1994年初,利率急剧上升,债券价格下降,该互换就变的非常昂贵

本章中讨论了在市场交易的一小部分非标准互换 实际应用中,金融工程师的想像力和公司财务主管关于创新风险管理工具的需求带来了非常多的金融工具在交易

20世纪90年代中期,在美国非常流行的一种互换是指数分期偿付互换(有时也被称为指数本金互换) 该互换中本金递减的方式取决于利率水平 利率水平越低,本金减少越多 刚开始,指数分期偿付互换的固定方被设计为“复制”(至少近似地)MBS的投资者获得的收益(提前偿还选择权被考虑进去之后) 因此,该互换以某个MBS的收益交换了浮动利率收益

商品互换越来越受欢迎 一家每年消耗10万桶石油的公司同意在未来10年中,每年支付400万美元并收取100000S 其中S是每桶石油的市场价格 这一协议的作用是把公司的石油成本锁定在每桶$40 一个石油生产商也许同意作为互换的另方,锁定它未来的销售价格在每桶$40 我们在第23章中已讨论过能源衍生品

互换市场中最近的一个创新是波动率互换 其中支付额依附于某个股票(或其他一些资产)的波动率 假设本金为L,在每个支付日,一方支付Lσ,其中的σ是历史波动率,是从前一次付息期间的每日股票观测值计算的 另一方支付Lσk,其中的σk是预先指定的常数波动率水平 方差互换、相关系数互换以及协方差互换的定义也是类似的

本书的其他部分中也讨论了很多其他种类的互换 如第20章中的资产互换,第21章中的总收益互换和不同种类的信用违约互换,

奇异交易

一些互换的损益的计算方式非常奇异 一个例子是宝洁公司和信孚银行在1993年进行的交易(参见商业剪影30.4) 因为它后来成为诉讼对象,所以该交易的细节公布在媒体上了

小,结

互换是用途非常广泛的金融工具 很多互换可以按如下方式估值:(a)假设LIBOR(或其他浮动参考利率)将等于其远期值(b)把现金流以LIBOR/互换率贴现 能这样估值的互换包括标准型利率互换、绝大多数货币互换、本金以预先决定的方式变化的互换、两方的支付日不同的互换以及复利互换

估值某些互换时,需要对远期利率进行调整 这些调整被称为凸性调整、时刻调整以及跨币调整 需要进行这种调整的互换包括后定LIBOR利率的互换、CMS/CMT互换以及差异互换

权益性互换中以某个股票指数的收益交换固定或浮动利率 它们通常被设计为支付日过后价值正好等于0 但是两个支付日之间它们的价值并不为0

某些互换包含嵌入期权 一个条件累计互换等价于普通互换加上大量两值期权(互换有效期内每天一个两值期权)的组合 可撤销互换等价于普通互换加上一个百慕大互换期权 "

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