凸性调整、时刻调整及跨币衍生证券调整#期权期货及衍生品

复利哥 2021年6月16日凸性调整、时刻调整及跨币衍生证券调整#期权期货及衍生品已关闭评论29

凸性调整、时刻调整及跨币衍生证券调整,一种广泛使用的欧式衍生证券的两步估值过程如下:

1.假设每个标的变量的期望值等于远期值,计算预期损益

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2.找出可适用于估值日和损益实现日期限之间的无风险利率,以该无风险利率贴现预期损益

在第4章估值远期利率协议(FRA)时,我们第一次用到了这种估值过程" 估值FRA时,基于远期利率将实现的假设,计算了损益,并以无风险利率对该损益进行了贴现 类似地,在第7章估值互换时,基于远期利率将实现的假设下,计算「现金流并以无风险利率进行了贴现 第26章中,我们说明了Black模型可以对很多欧式期权进行定价 并且如26.1节所述,Black模型正是以上两步过程的一种应用、第26章中给出的债券期权、利率上限/下限以及互换期权的模型都是上述两步过程的应用实例

那么,利用上述两步过程定价欧式利率衍生证券时,结果总是正确的吗?答案是否定的!对于非标准的利率衍生证券,有时我们需要对上述两步过程进行调整.使得第一步中的变量远期值得到修正 本章中我们考虑三种调整方法:凸性调整、时刻调整以及跨币调整

27.1,凸性调整

首先,我们讨论一个金融工具的定价问题,它的损益依附于损益发生时观察到的某个债券的收益率

通常,根据在T时刻提供损益ST-K的远期合约,计算一个变量S的远期值 K值等于上述远期值时,合约价值等于零 如25.4节所述,远期利率和远期收益率的定义不同 远期利率是远期零息票债券隐含的利率 更为一般地,远期债券收益率是远期债券价格隐含的收益率

假设BT是一个债券在T时刻的价格,yT是它的收益率,BT和yT之间的(债券定价)关系式为:

BT=G(yT

定义F0为在0时刻、一个T时刻到期的合约的隐含远期债券价格,y0为0时刻的远期债券收益率 远期债券收益率的定义说明

F0=G(y0

函数G是非线性的 这说明当未来债券价格的期望值等于远期债券价格(即我们在考虑“关于T时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”)时,未来债券收益率的期望值与远期债券收益率并不相等

图27.1中解释了这种情况,图中表示了T时刻的债券价格与债券收益率之间的关系 为简单起见,我们假设只有三个可能的债券价格:B1、B2和B3,它们在“关于P(t,T)的远期风险中性世界”中出现的可能性相同 我们假设债券价格是等间距的,即B2-B1=B3-B2 远期债券价格是期望债券价格B2 这些债券价格转换成等概率的收益率:y1、y2和y3 这些收益率不是等间距的 变量y2是远期债券收益率,因为它是远期债券价格对应的收益率 期望债券收益率是y1、y2和y3的平均值,显然大于y2

考虑一种衍生证券,它的损益依附于T时刻的债券收益率 根据方程(25.20),我们知道可以在“关于T时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”中计算预期损益,再以当前的T期限无风险利率来贴现上述预期损益 我们知道在上述世界中,期望债券价格和远期价格是相等的 所以,我们需要知道当期望债券价格和远期价格相等时的期望债券收益率 本章后面的附录中给出了期望债券收益率的一个近似表达式:

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其中,G'和G''表示衍生证券G的一阶导数以及二阶导数 ET表示“关于P(t,T)的远期风险中性世界”中的期望值 σy是远期收益率的波动率 那么,我们假设期望债券收益率为

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而不是y0,那么就能以当前T期限的无风险利率来贴现预期损益了 期望债券收益率与远期债券收益率之间的差额

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就是所谓的凸性调整〈convexity adjuslTnent) 它对应y2和图27.1中预期收益率之间的差额[因为G'(y0)<0且G''(y0)>0,凸性调整是正数]

应用1:利率

作为方程(27.1)的第一个应用例子,我们考虑一个在T时刻提供现金流的金融工具,现金流数额基于本金L和T至T*期间所对应的利率(第30章中我们考虑后定LIBOR利率的互换时,这个例子非常有用) 注意到适用于T至T*期间的利率支付通常发生在T*时刻 这里,我们假设它的支付较早发生——在T时刻

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因此,该金融工具的价值为

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[例27.1]    考虑一个3年后实现损益的衍生证券,损益等于3年后的1年期零息票债券利率(每年计一次复利计算)乘以$1000,假设所有期限的零息率为10%p.a.,每年计一次复利 第3年末和第4年末期限之间的远期利率的波动率为20% 这个例子中,R0=0.10,σR=0.20,T=3,τ=1以及P(0.3)=1/1.103=0.7513 衍生证券的价值为:

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即$75.95(没有凸性调整时,这一价格为$75.13)

应用2:互换率

接下来考虑一个T时刻实现损益的衍生证券,损益等于那一时刻观察到的互换率 该互换率是票面收益率 为了计算一个凸性调整,我们可以近似地假设,T时刻的N年期互换率等于那一时刻的N年期债券的收益率,该债券的息票率等于当前的远期互换率 那么就能使用方程(27.1)

[例27.2]    考虑如下衍生证券,3年后损益等于那时的3年期互换率乘以$100 假设该互换每年支付一次,对所有期限的零息票率都是年利率12%(每年计一次复利),在3年后的3年期远期互换率(互换期权价格隐含的)的波动率是22% 我们可以认为互换率近似等于息票率为12%的债券的收益率 那么相应的函数G(y)为:

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因此,在为该金融工具估值时,我们应该假设远期互换率为0.1236(12.36%)而不是0.12 该金融工具的价值为:

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即$8.80(没有凸性调整时,这一价格为$8.54)

27.2,时刻调整

本节中我们考虑这样的一种情况:我们根据T时刻的某个市场变量V的观测值来计算随后T*时刻发生的损益 定义:

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其中ρVR=-ρVW为,与R之间的瞬态相关系数 我们可以近似地假设R恒等于R0,并且下面表达式中的波动率和相关系数也是常数,分别等于各自在0时刻的值

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[例27.3]    考虑一个6年后实现损益的衍生证券,损益等于第5年年末观察到的某个股票指数的价值 假设从某个5年后到期的合约中得到的股票指数的远期值为1200 假设该指数的波动率为20%,第5年年末到第6年年末间的远期利率的波动率为18%,并且刚刚所述两个变量的相关系数为-0.4 进一步假设零息率曲线是平坦的,年利率8%,每年计一次复利 我们把上面刚得到的结论应用于V等于指数值的情形 这个例子中T=5,T*=6,m=1,R0=0.08,pVR=-0.4,σV=0.20以及σR=0.18 那么

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即ET*(VT)=1.00535ET(VT) 根据第25章中的讲述,我们知道ET(VT)为指数的远期价格,即1200 因此,ET*(VT)=1200x1.00535=1206.42 根据第25章中的论述以及方程(25.20),该衍生证券的价值为1206.42xP(0,6) 这个例子中,P(0,6)=1/1.086=0.6302 因此,衍生证券的价值为760.25

再次探讨应用1

利用刚刚给出的分析,可以用另一种方式得到27.1节的应用1中的结果 使用应用1中的符号,我们定义RT为T至T*之间期限的利率,R0为T至T*之间期限的远期率 从方程(25.22),得到

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取指数函数的近似值,我们得到

这和方程(27.2)—致

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27.3,跨币衍生证券

跨币衍生证券中涉及两个货币 衍生证券的损益是根据第一个货币度量的变量价值来定义的,而获得的损益则是以第二种货币表示 跨币衍生证券的一个例子是CME的日经指数Nikkei期货合约,在商业剪影5.3中讨论过 该合约的标的市场变量是Nikkei225指数,但是以美元结算合约

考虑一种在T时刻以货币X提供损益的跨币衍生证券 我们假设损益依附于T时刻以货币Y观察到的某个变量值V 定义:

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其中S(t)是t时刻的即期汇率(一单位X所对应的Y的单位数) 那么,计价标准比率W(t)是T时刻到期的合约的远期汇率(一单位X所对应的Y的单位数) 定义:

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上述表达式近似等价于

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第30章中在为所谓的差异互换定价时,我们将应用这一公式

[例27.4]    假设1年期合约的Nikkei股票指数现在的值为15000日元 并且1年期美元无风险利率为5%,1年期日元无风险利率为2%,Nikkei的红利收益率为1% 以日元表示的合约隐含的Nikkei的远期价格可由公式(5.8)计算:

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假设该指数的波动率为20%,美元兑日元1年期远期汇率的波动率为12%,两个变量之间的相关系数为0.3 这里,F(0)=15150.75,σF=0.20, σW=0.12以及ρ=0.3 根据方程(27.6),“关于1年后到期的美元债券的远期风险中性世界”中Nikkei的期望值为

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这是以美元而非以日元支付损益的Nikkei合约的远期价格(近似地,它也是该合约的期货价格)

使用传统风险中性测度

我们已经看到,当损益只发生在某一时刻的情况下,远期风险中性测度非常好用 而其他一些情况中,传统风险中性测度是更恰当的选择 假设我们已经知道变量V在“传统的货币Y的风险中性世界”中的行为过程,并希望估计该变量在“传统的货币x的风险中性世界”中的行为过程 定义:

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这种情况下,计价标准从货币Y的货币市场账户变化到货币X的货币市场账户(两个货币市场账户都以货币X表述) 定义gX为货币X的货币市场账户的价值,gY为货币Y的货币市场账户的价值 计价标准比率为

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如25.4节所述,变量gX(t)和gY(t)的漂移率是随机的,但波动率为零 根据伊藤定理,该计价标准比率的波动率为σs 计价标准的变化引起V的预期增长率上升

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风险的市场价格从0变化到ρσs 该结果的一个应用就是Siegel悖论(参见商业剪影27.1)

商业剪影27.1,Siegel悖论

考虑两种货币X和Y 假设两个国家的利率分别为rx和rY,都是常数 定义S为一单位货币X对应的货币Y的单位数量 如第5章所述,外汇是一种支付收益(收益率等于外国无风险利率)的资产 因此,S的传统风险中性过程为

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这个结果会导致所谓的Siegel悖论 因为S在风险中性世界的预期增长率为rY-rx,对称地,1/S的预期增长率应该是rX-rY,而不是rX-rY2S

为了解释Siegel悖论,我们应该注意,上述的S过程是风险中性过程,S处于计价单位为货币Y的货币市场账户的世界中 1/S的过程是由S的过程推导的,因此,其中的计价单位也是相同的 因为1/S是每单位货币Y对应的货币X的单位数量,对称地,1/S的过程中应该使用计价单位是货币X的货币市场账户的世界 方程(27.7)说明,计价单位从货币Y的货币市场账户变化到货币X的货币市场账户时,一个变量V的增长率会上升ρσvσs 其中,ρ是S和V之间的相关系数 这种情况下,V=1/S,因此,ρ=-1且σVS 那么,计价单位的变化会引起1/S的增长率上升-σ2s 这就和上述给出的1/S的过程中的+σ2s 项相抵 因此,在计价单位为货币X的货币市场账户的世界中,1/S的过程是

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这和S的过程是相互对称的 该悖论得到了解决!

[例27.5]    一个2年期美式期权提供的损益为S-K英镑 其中,S是执行时刻的S&P500的值,K为执行价格 S&P500当前的值为1200 英镑和美元的无风险利率分别为5%和3%,保持不变 美元膜镑汇率和S&P500之间的相关系数为0.2,S&P500的波动率为25%,汇率的波动率为12% S&P500的红利收益率为1.5%

我们通过对S&P500构建二叉树图估值这样的期权,计价标准为英国的货币市场账户(即以英国投资者的角度考虑的传统风险中性世界) 根据方程(27.7),计价标准从美国货币市场账户变化到英国货币市场账户,则S&P500预期增长率上升

0.2x0.25x0.12=0.006

即0.6% 计价标准为美元时,S&P500的增长率为3%-1.5%=1.5% 因此,计价标准为英镑时,S&P500的增长率为2.1% 英镑的无风险利率为5% 因此,计价标准为英镑时,S&P500类似于支付红利收益率5%-2.1%=2.9%的资产 利用参数值S=1200,K=1200,r=0.05,q=0.029,σ=0.25,T=2以及100个时间步,DerivaGem估计的期权价值为?179.83

小,结

为在某一未来时刻提供损益的衍生证券进行估值时,很自然的一个假设是该衍生证券的标的变量等于它们的远期值,那么可以选取适用于估值日至损益发生日期限之间的利率来进行贴现 本章说明了这并不总是正确的估值过程

当损益依附于T时刻观察的某个债券收益率,则应该假设预期收益率大于远期收益率,如方程(27.1)所示 这一结果可以适用于损益依附于某个互换率的情况 变量值是在7时刻观察的,而损益在随后的某个时刻广发生,那么该变量的远期值应该进行如方程(27.4)的调整 当一个变量是以一种货币观察的,而损益是以另一种货币实现时,该变量的远期值也应该进行调整 方程(27.6)显示了这一调整

第30章中,我们将利用这些结果讨论非标准互换

参考读物

Brotherton-Ratcliffe,R.,and B.Iben,“Yield Curve Applications of Swap Products”in Advanced Strategies in Financial Risk Management(R.Schwartz and C.Smith,eds.).New York Institute of Finance,1993.

Jamshidian,F.,“Corralling Quantos,”Risk,March(1994):71-75.

Reiner,E.,“Quanto Mechanics,”Risk,March(1992),59-63.

附,录

凸性调整公式的证明

在这个附录中我们证明远期债券收益率的凸性调整公式 假设T时刻某个衍生产品的损益依附于在那个时刻观测到的某个债券收益 定义:

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其中G'和G''是G的一阶偏导数和二阶偏导数 在“关于T时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”中取期望值,得到:

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其中,ET表示该世界中的期望值 表达式G(y0)是远期债券价格 而在我们考虑的世界中,ET(BT)等于远期债券价格 因此,ET(BT)=G(y0),

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这说明,为了得到“关于T时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”中的预期债券收益率,我们应该在远期债券收益率添加

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