鞅和测度#期权期货及衍生品

复利哥 2021年6月16日鞅和测度#期权期货及衍生品已关闭评论29

鞅和测度,到现在为止定价期权时,我们假设利率是常数" 本章中我们放宽这一假设,为第26-30章中的利率衍生证券定价做准备

根据风险中性估值方法,(a)可以通过在标的资产的预期收益等于无风险利率的假设下,计算预期损益;(b)再对预期损益以无风险利率贴现,就可以得到衍生证券的价值 当利率是常数时,风险中性估值方法是明确的估值工具 但是利率是随机变化的时候,该方法就没那么明确了 如标的资产的预期收益等于无风险利率的假定意味着什么?(a)这是说每一天的预期收益率等于一天的无风险利率?(b)还是说每年的预期收益率等于一年的无风险利率?或者是说(c)5年期的预期收益率等于该期限开始时的5年的无风险利率?以无风险利率贴现预期损益的确切含义是什么呢?例如未来5年的预期损益可否用当前的5年期无风险利率贴现呢?

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本章中我们讲述当利率随机变化时的风险中性估值方法的理论基础,并只说明对于任一给定的情形,可以假定很多不同的风险中性世界 我们首先定义所谓的风险的市场价格参数,并说明一个衍生证券在一个很短的期间,超过无风险利率的收益与标的随机变量风险的市场价格之间存在线性关系 传统风险中性世界中,假定所有风险的市场价格等于零 但是,我们将看到在某些情形中对风险的市场价格要做其他假设

要完整地理解风险中性估值方法,就要懂得鞅和测度 鞅是零漂移随机过程,测度是我们估值证券价格时采用的单位 等价鞅测度是本章的一个重点结论 该结论说明当我们以可交易证券的价格作为测度中的单位时,存在一些风险的市场价格,使得所有的证券价格遵循鞅

本章中我们通过在随机利率的股票期权以及资产交换期权定价问题中,应用等价鞅测度结论来说明该结论的作用 第26章中,我们利用这一结论来理解估值利率衍生证券的标准市场模型 第27章中,我们利用该结论来估值一些非标准的衍生证券 第29章中,该结论也会帮助我们建立LIBOR市场模型

25.1,风险的市场价格

首先,我们考虑依赖单个变量Θ的衍生证券的特性 假设变量Θ遵循如下随机过程:

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其中dz是一个维纳过程 相应地,参数m和s分别为Θ的预期增长率和波动率 我们假设它们只取决于Θ和t,但是Θ不一定是投资资产的价格 它可能是离金融市场极其遥远的某种东西,如美国新奥尔良中部地区的气温

设f1和f2是仅决定于Θ和时间t的两种衍生证券的价格,可能是期权或其他衍生证券,在将来的某一时刻这些衍生证券的盈利为Θ的某一函数 假设在我们考虑的时间段内,f1和f2不支付任何收益

假设f1、f2遵循的过程如下:

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注意,方程(25.6)的左边只依附于f1过程的参数,而右边只依附于f2过程的参数 定义λ为方程(25.6)的每一边的值,所以:

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λ被称为 的风险市场价格(market priceof risk) 一般来说,参数入取决于λ和θ,但不依赖于衍生证券f的性质 我们的分析说明在不存在套利机会时,对于每个只依附于θ和t的衍生证券,任一时刻的(μ-r)/σ都是相同的

值得注意的是,f的波动率σ被定义为公式(25.7)中dz的系数 它可以是正的也可以是负的 如果θ的波动率s是正数,且f和θ正相关(即af/aθ是正的),则σ是正数 但如果f和θ负相关,则σ是负数 以前定义的f的波动率实际上是〡σ〡

θ的风险市场价格,衡量了风险与收益的权衡关系,这种关系是对依赖于θ的证券而言的 方程(25.8)可以写为:

        μ-r=λσ                                  ,(25.9)

为了直观地理解这个方程,我们注意到变量σ可以被粗略地解释为f中代表的Θ风险的数量 因此,在方程的右边,我们可以看作是用Θ风险的价格乘以Θ风险的数量 方程的左边是要求得到风险补偿的超过无风险利率的预期收益 许多读者会注意到方程(25.9)和资本资产定价模型的相似之处,资本资产定价模型将股票的预期超额收益与它的风险联系起来

我们在本章中不会讨论风险的市场价格的度量方式 但是在第31章中讨论实物期权估价时将涉及这个问题

第5章中我们对投资资产和消费资产进行了区分 投资资产是众多投资者仅为了进行投资而持有的资产 消费资产是几乎完全为了进行消费而持有的资产 对于不支付收益、只依附于Θ的所有投资资产,公式(25.8)是正确的 如果变量 本身碰巧是一种这样的投资资产,那么

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但其他情况,这一关系式通常不成立

[例25.1]    考虑一种衍生证券,其价格与石油的价格正相关,但不依赖于任何其他的随机变量 假设它提供预期收益率为每年12%,波动率为每年20%,假设无风险利率为每年8% 可以得到石油风险的市场价格是:

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注意,石油是一种消费资产而不是投资资产 因此,它的风险的市场价格不能通过令μ等于石油投资的预期收益、σ等于石油价格的波动率,由方程(25.8)而得到

[例25.2],考虑两种证券,都与90天利率正相关 假设第一种证券预期收益率为每年3%,波动率为每年20%;第二种证券波动率为每年30% 假设瞬时无风险利率为每年6% 用第一种证券的预期收益和波动率可得利率风险的市场价格为:

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即每年1.5%

其他世界

衍生证券价格f遵循的过程是

df=μfdt+σrfdz

μ值依赖于投资者的风险偏好 在风险的市场价格为0的世界中,λ等于0 根据公式(25.9),有μ=λ 因此,f遵循的过程也是:

df=rfdt+σfdz

我们将这样的世界称为传统风险中性世界(traditional risk-neutral world)

对风险的市场价格λ做其他的假设,我们可以定义其他的内部一致的世界 -般来说,从公式(25.9)我们可以看到

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变量的风险市场价格决定所 我们从某个风险的市场价格转到另一个风险的市场价格时,衍生证券价格的预期增长率会变化,但是它们的波动率保持不变 这就是遵循扩散过程变量的一般属性,这在11.7节中简单介绍过 选择某一特定的风险市场价格也被称为定义“概率测度(probability measure)” 选择某些风险的市场价格,我们可以进入“现实世界”,其中的衍生证券价格增长率可在现实中观测到

25.2,多个状态变量

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i=1,2,…,n,其中dzi是维纳过程 参数mi和si是预期增长率和波动率,也可以是Θi和时间的函数 本章附录给出了包含几个变量函数的伊藤定理表达式 其中,说明了依赖于Θi的证券价格/遵循的过程为:

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其中λi是Θi风险的市场价格 这个方程将投资者对该证券所要求的预期超额净收益与λi和σi联系起来 方程(25.9)是上述方程在n=1时的特殊形式 上式右边的λiσi项衡量了投资者要求的证券收益受证券对Θi依赖的影响程度 如果λiσi=0,没有任何影响;如果λiσi>0,投资者将要求更高的收益来补偿由Θi引起的风险;如果λiσi<0,证券对Θi的依赖性使得投资者要求一个比其他情况更低的收益 当变量的效果是减小而不是增加典型投资者的证券组合风险时,就可以出现λiσi<0的情况

[例25.3]    一种股票价格依赖于三个标的变量:石油价格、黄金价格和股票市场整体情况 假设这些变量风险的市场价格分别为0.2、-0.1和0.4 再假设方程(25.12)中相应于三个变量的σi因子,分别估计为0.05、0.1和0.15 该股票超过无风险利率的净收益为:

0.2x0.05-0.1x0.1+0.4x0.15=0.06

即每年6% 如果有这三个以外的其他变量影响f 当这些另外变量风险的市场价格都为0时,以上结果仍是正确的

方程(25.13)与Stephen Ross在1976年提出的套利定价理论APT密切相关 资本资产定价模型(CAPM)的连续时间形式可以看作是这个方程的一种特殊情况 CAPM说明投资者要求用超额净收益来补偿与股票市场收益的整体风险有关的任何风险,但对其他的风险则不要求超额净收益 与股票市场收益有关的风险称为系统风险(systematic),其余风险称为非系统风险(nonsystematic) 如果CAPM正确的话,λi正比于Θi的变化与市场整体收益之间的相关性 当Θi与市场整体收益不相关时,λi为0

25.3, 鞅

鞅(martingale)是零漂移随机过程 遵循鞅的变量的行为过程如下:

dΘ=crdz

其中dz是一个维纳过程 变量σ自身可以是随机变化的 它也可以依附于Θ和其他一些随机变量 鞅有一个很实用的性质,它在任意的未来时刻的期望值等于今天的价值 也就是说

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等价鞅测度结论

假设f和g是依附于单个不确定性来源的可交易衍生证券的价格 假设该衍生证券在我们考虑的时间段内不支付任何收益 定义:

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变量Φ是f对于g的相对价格 我们可以看作是以g而不是以美元为单位度量f的价格 衍生证券g的价格被称为计价标准(numeraire)

等价鞅测度结论说明,当不存在套利机会的时候,对于某些风险的市场价格的选取值,Φ遵循鞅 进一步,对于一个给定的计价标准证券g,同样选取这些风险的市场价格值,对于所有衍生证券f,Φ遵循鞅 这个风险的市场价格的选取值是g的波动率 也就是说,如果风险的市场价格被设定为g的波动率,则所有衍生证券f,比率flg遵循鞅

为了证明这一结果,我们假设f和g的波动率分别为σf和σg 根据方程(25.10),风险的市场价格为σg的世界中,有

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这给出了所需的结论 我们将风险的市场价格等于g的波动率σg的世界,称为关于g的远期风险中性(forward risk neutral respect to g)世界

因为flg在“关于g的远期风险中性世界”中遵循鞅,根据本章开始部分中的结论,得到

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25.4,计价标准的其他选择

我们现在举一些例子来说明等价鞅测度结论 第一个例子说明该结论和我们之前使用的传统风险中性估值结果是-致的 其他的例子作为第26章中对债券期权、利率上限以及互换期权估值的准备

货币市场账户作为计价标准

美元货币市场账户是一种0时刻价值为$1,在任意给定时刻获得瞬间无风险利率r的证券 变量r可能是随机的 如果我们设g为货币市场账户,则它以比率r增长 那么

            dg=rgdt                          ,(25.16)

g的漂移率也是随机的,但g的波动率为0 那么,“关于g的远期风险中性世界”是一个风险的市场价格为 的世界 这就是我们已经定义过的传统风险中性世界 根据方程(25.15),得到

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这就是之前的章节中我们使用的风险中性估值关系式

零息票债券价格作为计价标准

定义P(t,T)为T时刻支付$1的零息票债券在t时刻的价格 现在设定g等于P(t,T),我们来解释它的意义 以ET来表示“P(t,T)的远期风险中性世界”中的期望 因为gT=P(T,T)=1且g0=P(0,T),根据方程(25.15),得到

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注意方程(25.19)和方程(25.20)之间的区别 方程(25.19)中,贴现在期望算子内部 方程(25.20)中,贴现[以P(0,T)项表述]在期望算子外部 利用“关于P(t,T)的远期风险中性世界”,我们可以很简单地处理在r时刻一次性支付的证券

考虑不是利率的任意变量Θ,T期限的基于Θ的远期合约是一种在T时刻支付ΘT-k的合约 其中,ΘT为是T时刻Θ的值 定义f为该远期合约的价值 根据方程(25.20),我们得到

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方程(25.21)说明任意变量(除了利率)的远期价格是“关于P(t,T)的远期风险中性世界”中的未来即期价格的期望 这里要注意区分远期价格与期货价格 在14.7节中说明了一个变量的期货价格是传统风险中性世界中的未来即期价格的期望

方程(25.20)说明了我们可以这样估值在T时刻提供损益的任意证券:“关于T时刻到期的债券的远期风险中性世界”中计算证券的预期损益,再以T期限的无风险利率进行贴现 方程(25.21)说明了,在计算预期损益时,假设标的变量的期望值等于变量的远期价值是正确的 这些结果对于我们理解下一章中债券期权的标准市场模型是非常关键的

债券价格作为计价标准时的利率

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我们这里的远期利率的定义和大部分变量的远期价格的定义有些区别 远期利率是对应的远期债券价格隐含的利率 那么

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且g=P(t,T*) 则根据等价鞅测度结论,R(t,T,T*)在“关于P(t,T*)的远期风险中性世界”中遵循鞅 也就是说

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其中,ET*表示“关于P(t,T*)的远期风险中性世界”中的期望

我们已经证明了,在“关于T*时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”中,远期利率等于未来期望的利率 结合该结果和方程(25.20),会对于我们理解下一章中的利率上限的标准市场模型非常有帮助

年金因子作为计价标准

作为又一个等价鞅测度结论的应用,我们考虑未来T时刻开始的一个互换合约,支付日期在T1、T2、…、TN 定义T0=T 假设互换的标的本金为$1 假设t(t≤T)时刻的远期互换率(即对于支付固定利率方,互换价值为0时的相应利率)为s(t) 对于支付固定利率方,互换的价值为

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我们在第7章中已经提过,在互换的最后支付日的支付包括本金时,对于支付浮动利率方,期初的互换价值等于标的本金 那么,当我们在TN时刻附加$1,则T时刻对于支付浮动利率方的互换价值为$1 外时刻收到的$1的价值为P(t,TN) $1在T0时刻的价值为P(t,T0)) 因此,t时刻对于支付浮动利率方的价值为

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其中,EA表示“关于A(t)的远期风险中性世界”中的期望 因此,在“关于A(t)的远期风险中性世界”中,未来互换率的期望值为当前的互换率

对于任意的证券f,方程(25.15)的结果说明

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结合该结果和方程(25.24),会对于我们理解下一章中的欧式互换期权的标准市场模型非常有帮助

25.5,扩展到多因子模型

25.3节和25.4节中的结果可以扩展到存在很多独立因子的情况 假设有n个独立因子,f和g在传统风险中性世界中的行为过程如下:

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其中,λi(1≤i≤n)为第n个风险的市场价格 其他世界中也包含现实世界

我们定义“关于g的远期风险中性世界”,其中λig,i 根据依藤定理,利用dzi互不相关的事实,我们可以证明这个 因此,之前两节中的其他结果[从方程25.5 开始]也是正确的

25.6,应,用

本节中我们给出两个远期风险中性估值方法的应用 将在第26、27、29和第30章给出其他一些应用过程

Black-Scholes结论

当利率是随机变量时,我们可以使用远期风险中性估值方法来扩展Black-Scholes结论 考虑一个r时刻到期的基于不支付红利股票的欧式看涨期权 根据方程(25.20)该看涨期权的价格是:

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其中,ST是T时刻股票价格,K是执行价格,ET表示“关于T时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”中的期望 定义R为T期限对应的零息率,那么

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如果我们假设ST在远期风险中性世界中服从对数正态分布,令ln(ST)的标准差等于ω,根据第13章附录,可以得出

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根据方程(25.21),ET(ST)是T时刻到期的一个合约的远期股票价格 根据第5章的无套利假设,我们得到

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根据方程(25.27)、(25.28)以及方程(25.29),我们得到

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这说明可由Black-Scholes定价公式给出该看涨期权的价格,其中要以R替换r,对于欧式看跌期权也可以得到类似的结论

资产交换期权

接下来考虑一个以价值为U的投资资产换取价值为V的投资资产的期权 在22.11节中已经提过这种期权 我们假设U和V的波动率分别为σU和σV 并且两者之间的相关系数为ρ

首先假设这些资产不支付收益 我们选择U作为计价标准衍生证券g 在方程25.6 中设f=V,那么

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根据第13章的附录,方程(25.31)可以变成

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这就是方程(22.3)给出的结果

25.7,计价标准的改变

本节中,我们考虑计价标准的改变对一个市场变量的行为过程产生什么影响 “关于g的远期风险中性世界”中,可交易证券f遵循的行为过程如下:

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类似地,在“关于另一个证券h的远期风险中性世界”中,可交易证券f遵循的行为过程为:

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从“关于g的远期风险中性世界”变化到“关于另一个证券人的远期风险中性世界”(即计价标准从g变为h)的影响是,可交易证券f的预期增长率上升了

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接下来考虑变量v,它是可交易证券价格的函数(v并不一定等于可交易证券价格本身) 定义σv,i球为v的波动率的第i个组成部分 根据本章附录中的伊藤定理的形式,当计价标准改变,标的可交易证券的预期增长率变化时,我们可以计算相应的v的行为过程的变化 结论是v的预期增长率对计价标准改变的反映与可交易证券价格的预期增长率的变化相似 它上升了

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这一结果出奇的简单 改变计价标准时需要对一个变量v的预期增长率做出的调整,是v的变化百分比以及计价标准比率的变化百分比之间的瞬态相关系数 第27章中讲述时刻调整和跨币衍生证券调整时将使用这一结论

小,结

一个变量的风险的市场价格,衡量了依附于这一变量的可交易证券的风险与收益的权衡关系 当只有一个标的变量时,一个衍生证券的超过无风险利率的超额收益,等于风险的市场价格乘以这一变量的波动率 当存在多个标的变量时,超额收益等于风险价格乘以每个变量波动率的总和

衍生证券定价中最重要的工具是风险中性估值方法 第11章和第13章中已经介绍过这一方法 风险中性估值方法的原理是,当为衍生证券定价时,如果我们假定世界是风险中性的,我们可以得到正确的结果,不仅仅是风险中性世界,在其他世界也是如此 在传统风险中性世界,所有变量的风险的市场价格为0 进一步,该世界中任意资产的预期价格就是它的期货价格

本章中,我们推广了风险中性估值原理 我们证明了利率是随机变量时,有很多有趣并有用的世界可以替代传统风险中性世界 当只有一个随机变量时,如果变量的风险的市场价格等于上述证券价格的波动率,就可以定义一种“关于证券价格的远期风险中性世界” 存在多个随机变量时,也可以做类似的定义

鞅是零漂移随机过程 遵循鞅的任何变量有一个简单的性质,即未来任一时刻它的期望价值等于它当前的价值 我们证明了在一个“关于g的远期风险中性世界”中,对于所有衍生证券价格f,比率flg遵循鞅 那么,通过选择恰当的计价标准证券g,我们可以简化很多依附于利率的衍生证券的估值问题

本章中我们说明了当利率是随机变量时,如何使用扩展的风险中性估值方法,来定价欧式资产互换期权 第26、27、29和第30章中定价利率衍生证券时,这一扩展结果将非常有用

参考读物

Baxter,M.,and A.Rennie,Financial Calculus.Cambridge University Press,1996.

Cox,J.C.,J.E.Ingersoll,and S.A.Ross,“An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices,”Econometrica,53(1985):363-84.

Duffie,D.,Dynamic Asset Pricing Theory.Princet on University Press,1992

Garman,M.,“General Theory of Asset Valuation Under Diffusion State Processes,”Working Paper,“University of California,Berkeley,1976.

Harrison,J.M.,and D.M.Kreps,”Martingales and Arbitragein Multiperiod Securities Markets,“Journal of Economic Theory,20(1979):381-408.

Harrison,J.M.,and S.R.Pliska,”Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Continuous Trading,“Stochastic Processes and Their Applications,11(1981):215-60.

附,录

处理多个不确定性来源

这-附录中,我们把伊藤定理扩展到存在多个不确定性来源的情况,并证明方程(25.13)中的结论(多个不确定性来源的情况下,存在超额收益和风险的市场价格之间的关系)

多个变量函数的伊藤定理

第12章附录中表示的伊藤定理给出了单个随机变量的函数所满足的过程,这里我们介绍几个随机变量函数遵循过程的伊藤定理的一般表达式

假设函数f依赖于n个变量x1,x2,…,xn和时间t 进一步假设x1遵循过程,其瞬态漂移率%和瞬态波动率为矿(1WEW几),即:

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这就是伊藤定理的一般表达式 用(25A.1)式中dxi与代入上式,得:

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下面用另一种方法推导伊藤定理的一般形式 假设f依附于单个变量x,而x的过程包含多个维纳过程:

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依附于多个不确定性来源的衍生证券的收益

25.1节中我们给出了当存在单个不确定性来源时,收益和风险之间的关系 我们现在证明方程(25.13),其中存在多个不确定性来源的情况

假设有n个随机变量服从维纳过程 考虑n+1个可交易证券,它们的价格取决于某些或全部n个随机变量 定义fj为第j个衍生证券的价格(1≤j≤n+l) 我们假设n+1个可交易证券不支付红利或其他收益 根据附录前面部分,这些证券的行为过程如下:

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因为有n+1个可交易证券和n个维纳过程,我们可以用这些证券构造一个瞬间无风险组合Ⅱ 定义kj为组合中第j个证券的数额,那么

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方程(25A.8)~方程(25A.10)可视为n+1个kj的齐次线性方程 kj不全为0 根据线性代数的众所周知的理论,方程(25A.8)~方程(25A.10)一致,当且仅当对于所有的j,对于一些只取决于静态变量和时间的λi(1≤i≤n),有

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1=1

的一r=播Atcr.. (25A.12)

取消下标儿这说明,对于任一依附于〃个随机变量的证券/,有

df=时'出+gaifdzi

其中

r=椿Atcr.

这样,我们就证明了方程(25.13) "

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